Question

Точка делит гипотенузу АС прямоугольного

треугольника ABC в отношении AM: MC = 2:3.

Найдите разложение вектора ВМ по векторам В. А и

ВС и длину вектора ВМ, если АВ = 10 см, С. В = 5 см​

Answer 1

Из условия $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{2}{3}$, тогда $\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

По правилу треугольника $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$

Далее снова по правилу треугольника ABM:

$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BA}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BA}$

Поскольку векторы BA и BC перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, следовательно,

$\left|\overrightarrow{BM}\right|=\sqrt{\left(\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BA}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4}{25}BC^2+\dfrac{9}{25}BA^2}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}~_{\sf CM}$