Question

Для натуральних чисел m,n,k виконується нерівність m:n>m+k:n+k доведіть що m>n

Answer 1

$\displaystyle \dfrac{m}{n}>\dfrac{m+k}{n+k}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{m}{n}>\dfrac{m-n+n+k}{n+k}~~~\Rightarrow~~\dfrac{m}{n}>\dfrac{m-n}{n+k}+1\\ \\ \\ \dfrac{m}{n}-1>\dfrac{m-n}{n+k}~\Rightarrow~ \dfrac{m-n}{n}-\dfrac{m-n}{n+k}>0~\Rightarrow~ (m-n)\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\right)>0\\ \\ \\ (m-n)\cdot \dfrac{n+k-n}{n(n+k)}>0~~~\Rightarrow~~~\dfrac{k}{n(n+k)}\cdot(m-n)>0$

$\dfrac{k}{n(n+k)}$ - натуральное число, разделим последнее неравенство на число $\dfrac{k}{n(n+k)}$, получим $m-n>0$ откуда $m>n$

Доказано.