Question

$6x {}^{4} - 35x {}^{3} + 62x {}^{2} - 35x + 6 = 0$
​

Answer 1

Сделаем группировку первое слагаемое с пятым и второе слагаемое с четвертым и вынесем за скобки общий множитель

$6(x^4+1)-35x(x^2+1)+62x^2=0\\ 6(x^4+2x^2+1-2x^2)-35x(x^2+1)+62x^2=0\\ 6((x^2+1)^2-2x^2)-35x(x^2+1)+62x^2=0\\ 6(x^2+1)^2-35x(x^2+1)+50x^2=0$

Поскольку если подставить х = 0 в последнее уравнение, то он не является корнем, значим разделим обе части уравнения на $x^2$, получим

$6\cdot \left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)^2-35\cdot \dfrac{x^2+1}{x}+50=0$

Выполним замену $\dfrac{x^2+1}{x}=t$, получим

$6t^2-35t+50=0\\ D=(-35)^2-4\cdot 6\cdot 50=25;\\ \\ t_1=\dfrac{35+5}{2\cdot 6}=\dfrac{10}{3}\\ \\ t_2=\dfrac{35-5}{2\cdot 6}=\dfrac{5}{2}$

Вернемся к обратной замене

$\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{10}{3}\\ \\ 3x^2-10x+3=0\\ D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64\\ \\ x_1=\dfrac{10+8}{2\cdot 3}=3\\ \\ x_2=\dfrac{10-8}{2\cdot 3}=\dfrac{1}{3}\\ \\ \\ \dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{5}{2}\\ \\ 2x^2-5x+2=0\\ D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=9\\ \\ x_3=\dfrac{5+3}{2\cdot 2}=2\\ \\ x_4=\dfrac{5-3}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{2}$

Ответ: 1/3; 0.5; 2; 3.