Question

$\lim_{x \to \infty} (\frac{3x-4}{3x+2})^\frac{x+1}{3}$

Answer 1

Здесь неопределенность $\{1^{\infty}\}$, то нужно воспользоваться вторым замечательным пределом

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\frac{3x-4}{3x+2}\right)^{\frac{x+1}{3}}=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3x+2-6}{3x+2}\right)^{\frac{x+1}{3}}=\lim_{x \to \infty}\left(1-\frac{6}{3x+2}\right)^{\frac{x+1}{3}}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to \infty}\left(1-\frac{6}{3x+2}\right)^{\frac{x+1}{3}\cdot \left(-\frac{6}{3x+2}\right)\cdot \left(-\frac{3x+2}{6}\right)}=e^{\lim_{x \to \infty}-\frac{x+1}{3}\cdot \frac{6}{3x+2}}=e^{-\frac{2}{3}}$