Question

решить систему....................................................................................................................

Answer 1

Задание. Решить при x ≥0, y≥0, z ≥0 систему

{xy+yz+zx = 12

{xyz = 2 + x + y + z

Решение:

Известно, что среднее гармоническое не превышает среднее геометрическое, т.е.

$\dfrac{3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\leq \sqrt[3]{xyz}\\ \\ \\ \dfrac{3xyz}{yz+xz+xy}\leq \sqrt[3]{xyz}\\ \\ \\ \dfrac{3}{12}\leq\dfrac{\sqrt[3]{xyz}}{xyz}\\ \\ \sqrt[3]{(xyz)^2}\geq 4\\ \\ \\ xyz\geq 8$

Известно, что среднее геометрическое не превышает среднее арифметическое, т.е. $G_m\leq A_m$

$\sqrt[3]{xy\cdot yz\cdot xz}\leq \dfrac{xy+yz+xz}{3}\\ \\ \sqrt[3]{x^2y^2z^2}\leq \dfrac{12}{3}\\ \\ xyz\leq 8$

Тогда $x+y+z+2\leq 8$ откуда $x+y+z\leq 6$

Равенство возможно только при x = y = z = 2