Question

По линии связи передаются два сигнала А и В с вероятностями соответственно равными 0,8 и 0,2. Сигналов А принимается 60%, а сигналов В - 70%. а) Определить вероятность того, что посланный сигнал будет принят. б) Посланный сигнал был принят. Какова вероятность того, что это сигнал А?

Answer 1

Пусть событие А — посланный сигнал будет принят. Рассмотрим гипотезы :

$H_1-$ связь передается сигналом А;

$H_2-$ связь передается сигналом B.

Условные вероятности: $P(H_1)=0.8,~ P(H_2)=0.2$

$P(A|H_1)=60\%:100\%=0.6\\ P(A|H_2)=70\%:100\%=0.7$

a) По формуле полной вероятности, вероятность того, что посланный сигнал будет принят, равна

$P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)=0.6\cdot 0.8+0.7\cdot 0.2=0.62$

б) Посланный сигнал был принят, вероятность того, что это сигнал А, по формуле Байеса, равна

$P(H_1|A)=\dfrac{P(A|H_1)P(H_1)}{P(A)}=\dfrac{0.6\cdot 0.8}{0.62}=\dfrac{24}{31}$