Question

Дано: А(1,2,3), В(–2,4,1), C(7,6,3) и D(4,–3,–1). Найти:
a) площадь треугольника ABC
b)косинус угла между векторами [AB,AC] и AD

Answer 1

Алгоритм решения такой:
1) Находим координаты и длины векторов AB и AC.
2) Находим косинус угла между данными векторами.
3) С помощью основного тригонометрического тождества находим синус.
4) Находим площадь - половина произведения двух сторон на синус угла между ними.
5) находим вектор p - результат векторного произведения векторов AB и AC
6) находим косинус угла между векторами p и AD

Решение:
$\vec{AB}(-3,2,-2);\ \vec{AC}(6,4,0)$
$|\vec{AB}|=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17} \\|\vec{AC}|=\sqrt{36+16+0}=\sqrt{52}$
$cos(\phi)=\frac{\vec{AB}*\vec{AC}}{|\vec{AB}|*|\vec{AC}|}=\frac{-18+8+0}{\sqrt{52*17}}=-\frac{5}{\sqrt{221}}$
Косинус угла фи отрицательный=> данный угол тупой и расположен во 2 координатной четверти=> его синус положительный.
$sin(\phi)=\sqrt{1-cos^2(\phi)}=\sqrt{1-\frac{25}{221}}=\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{221}}=\frac{14}{\sqrt{221}} \\S=0.5*|\vec{AB}|*|\vec{AC}|*sin(\phi)=\frac{\sqrt{17*52}*7}{\sqrt{221}}=7*2=14$
$\vec{AB} \times \vec{AC}=\begin{vmatrix} i & j & k\\ -3 & 2 & -2\\ 6 & 4 & 0 \end{vmatrix}=\\=i*(2*0-(-2)*4)-j*((-3)*0-(-2)*6)+k*((-3)*4-2*6)=8\vec{i}-12\vec{j}-24\vec{k} \\\vec{p}(8,-12,-24) \\|\vec{p}|=\sqrt{64+12^2+24^2}=28 \\\vec{AD}(3,-5,-4);\ |\vec{AD}|=\sqrt{9+25+16}=5\sqrt{2} \\ cos(\alpha)=\frac{\vec{p}*\vec{AD}}{|\vec{p}|*|\vec{AD}|}=\frac{24+60+4*24}{28*5\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{14}$
Ответ:
a) 14
б) $\frac{9\sqrt{2}}{14}$