Question

помогите, матем анали

Answer 1

Так как под корнем чётной степени стоит отрицательное число, то вычисления будут в области комплексных чисел.

$\sqrt[4]{-625}=\sqrt[4]{-1\cdot625}=\sqrt[4]{-1\cdot5^4}=5\sqrt[4]{-1}$

Ниже приведены два способа извлечения корня из (-1).

В области комплексных чисел  (-1) можно представить в алгебраической форме :    -1 = -1 + 0·i ,   a= -1;  b = 0

  $\sqrt{-1}=\pm\Bigg(\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2+b^2}}2}+\sqrt{\dfrac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}2}i\Bigg)=\\\\~~~=\pm\Bigg(\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+0}}2}+\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{1+0}}2}i\Bigg)=\pm i$

$1)~~\sqrt{-1}=+i;~~~a=0;~b=1\\\\~~\sqrt{i}=\pm\Bigg(\sqrt{\dfrac{0+\sqrt{0+1}}2}+\sqrt{\dfrac{0+\sqrt{0+1}}2}i\Bigg)=\pm \Bigg(\dfrac 1{\sqrt2}+\dfrac 1{\sqrt2}i\Bigg)$

$2)~~\sqrt{-1}=-i;~~~a=0;~b=-1\\\\~~\sqrt{-i}=\pm\Bigg(\sqrt{\dfrac{0+\sqrt{0+1}}2}-\sqrt{\dfrac{0+\sqrt{0+1}}2}i\Bigg)=\pm \Bigg(\dfrac 1{\sqrt2}-\dfrac 1{\sqrt2}i\Bigg)$

$\Boldsymbol{\sqrt[4]{-625}=5\sqrt[4]{-1}=5\sqrt{\pm i}=\pm5\Bigg(\dfrac 1{\sqrt2}\pm\dfrac 1{\sqrt2}i\Bigg)=\pm2,5{\sqrt2}\big(1\pm i\big)}$

========================================

В области комплексных чисел  (-1) можно представить в тригонометрической форме.  Так как r = 1 ,

$-1=\cos\big(\pi+2\pi k\big)+\sin\big(\pi+2\pi k\big)i,~~k\in\mathbb Z$

Тогда для извлечения корня можно использовать формулу Муавра

$\sqrt[4]{-1}=\cos\Bigg(\dfrac{\pi+2\pi k}4\Bigg)+\sin\Bigg(\dfrac{\pi+2\pi k}4\Bigg)i=\\\\~~~~~~~=\cos\Bigg(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi k}2\Bigg)+\sin\Bigg(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi k}2\Bigg)i;~~~k=0;1;2;3$

$\\\\k=0;~~\cos\bigg(\dfrac{\pi}4\bigg)=\dfrac{\sqrt2}2;~\sin\bigg(\dfrac{\pi}4\bigg)=\dfrac{\sqrt2}2\\\\k=1;~~\cos\bigg(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2\bigg)=-\dfrac{\sqrt2}2;~\sin\bigg(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2\bigg)=\dfrac{\sqrt2}2\\\\k=2;~~\cos\bigg(\dfrac{\pi}4+\pi\bigg)=-\dfrac{\sqrt2}2;~\sin\bigg(\dfrac{\pi}4+\pi\bigg)=-\dfrac{\sqrt2}2\\\\k=3;~~\cos\bigg(\dfrac{\pi}4+\dfrac{3\pi}2\bigg)=\dfrac{\sqrt2}2;~\sin\bigg(\dfrac{\pi}4+\dfrac{3\pi}2\bigg)=-\dfrac{\sqrt2}2$

$\boldsymbol{\sqrt[4]{-625}=5\sqrt[4]{-1}=\pm5\Bigg(\dfrac {\sqrt2}2\pm\dfrac {\sqrt2}2i\Bigg)=\pm2,5{\sqrt2}(1\pm i)}$