Question

Исследуйте функцию и постройте её график.

y=x^4+x^3-x^2

Answer 1

ДАНО: y(x) = x⁴ + x³ - x²

Думаем: Парабола четвёртой степени и немного кривая.

ИССЛЕДОВАНИЕ

1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.  

D(x) = (-∞;+∞)

2. Корни функции: х₁ = - 1,618, х₂ = х₃ = 0 и х₄ = 0,618.

Нахождение самих корней - без комментариев. ДВА корня равны 0..

3. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: Y>0  X∈(-∞;-1.618)∪(0.618;+∞) - вне корней.

Отрицательна: Y<0   X∈(-1.618;0,618) - между корней.

4. Поиск экстремумов по первой производная функции .

Y'(x) = 4*x³ +3*x² -2 = 0

.  Решалось по теореме Виета.

Точки экстремумов: x₅ = - 1,175, x₆ = 0, x₇ = 0,425

5 Локальные экстремумы:

Ymin(х₅=-1,175) = - 1,10   Ymax(х₆= 0 ) = 0, Ymin(x₇=0.425) = -0.07  

6. Интервалы монотонности.

Убывает: Х∈(-∞;x₅=-1.175)∪(x₆=0;x₇=0.425)

Возрастает: Х∈(-1.175;0)∪(0.425;+∞)

7, Поиск точек перегиба по второй производной

Y"(x) = 12*x² +6х -2 = 0

. Парабола. D=132, √132≈ 11.5

x₈ =-0,73 и х₉ = 0.23 - точки перегиба.

8. Поведение функции.

Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;х8=-0,73)∪(х9=0,23;+∞) - вне корней параболы.

Выпуклая - "горка" - Х∈(х₈=-0,73);(х₉=0,23)) -между корнями параболы.

9. Область значений.

E(y) ={Ymin(x₅=-1.175);+∞}

10. Таблица с результатами в приложении.

11. Графики всех функций  на рисунке  в приложении.

Они, конечно , излишни, но наглядно показывают причины преобразования функции. Второй минимум показать конечно сложно.