Question

Сколько существует пар натуральных чисел аи b таких, что
НОК(a, b) = НОД(a, b) + 17. Напоминаем, что НОД(a, b) — это наибольший общий
делитель, то есть наибольшее натуральное число, на которое делятся иаи b. HOKа,
b) — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, которое
делится и на а, и на b.

​

Answer 1

Ответ:

3 пары

Объяснение:

Я не буду различать пары вида (a, b) и (b, a).

Запишем в виде НОК(a, b) - НОД(a, b) = 17.

Заметим, что, например, a делится на НОД(a, b) и НОК(a, b) делится на a, значит, НОК(a, b) делится на НОД(a, b), и вся левая часть делится на НОД(a, b). В правой части стоит 17, тогда НОД(a, b) должен быть делителем 17.

17 – простое число, у него только два делителя: 1 и 17. Получаем два случая:

1) НОД(a, b) = 1. Тогда НОК(a, b) = ab = 18. Все возможные разложения 18 на множители: 18 = 1 * 18 = 2 * 9 = 3 * 6. Пара (3, 6) не подходит, для неё НОД равен 3, а две другие – подходят.

2) НОД(a, b) = 17. Тогда НОК(a, b) = 34. Единственная возможность – одно число равно 17, а другое 34.