Question

а) решите уравнение 2cos2x-sin2x=1

б) укажите корни этого уравнение, принадлежащие отрезку [-п/2;п/2]​

Answer 1

$a)\ 2cos2x-sin2x=1\\2(cos^2x-sin^2x)-2sinxcosx=1\\2cos^2x-2sinxcosx-2sin^2x-1=0\\1=cos^2x+sin^2x\\2cos^2x-2sinxcosx-2sin^2x-cos^2x-sin^2x=0\\cos^2x-2sinxcosx-3sin^2x=0\ : cos^2x\neq 0\\1-2*\frac{sinx}{cosx}-3*(\frac{sinx}{cosx})^2=0\\-3tg^2x-2tgx+1=0\\3tg^2x+2tgx-1=0\\D=4+12=16=4^2\\tgx=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3} \\x_1=arctg(\frac{1}{3})+\pi n,\ n \in Z\\tgx=\frac{-2-4}{6}=-1\\x_2=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n \in Z$

б) ищем корни на [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]. Чертим тригонометрическую окружность.

Решение во вложении.

$x_1=-\frac{\pi}{4};\ x_2=arctg(\frac{1}{3})$

Ответ:

$a)\ x_1=arctg(\frac{1}{3})+\pi n,\ n \in Z\\ x_2=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n \in Z$

б) $\ -\frac{\pi}{4};\ arctg(\frac{1}{3})$