Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

a) f(x) = 1/3 x³ - x² + 6 ;

b) f(x) = x² ㏑ x [1;e] .

Answer 1

а) Вычислим производную функции

$f'(x)=\Big(\dfrac{1}{3}x^3-x^2+6\Big)'=\dfrac{1}{3}\cdot 3x^2-2x=x^2-2x$

И приравниваем ее к нулю

$x^2-2x=0\\ x(x-2)=0\\ x_1=0\\ x_2=6$

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции

$f(0)=\dfrac{1}{3}\cdot 0^3-0^2+6=6\\ \\ f(2)=\dfrac{1}{3}\cdot 2^3-2^2+6=\dfrac{14}{3}~~~-\max$

Наибольшее значение функции равно 6,а наименьшее — $\dfrac{14}{3}$.

б) Аналогично вычислим производную функции

$f'(x)=\Big(x^2\ln x\Big)'=\Big(x^2\Big)'\cdot \ln x+x^2\cdot \Big(\ln x\Big)'=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac{1}{x}=x(2\ln x+1)$

Приравниваем производную функции к нулю

$x(2\ln x+1)=0\\ x_1=0\\ \\ 2\ln x+1=0~~~\Rightarrow~~~ \ln x=-0.5~~~\Rightarrow~~~ x_2=e^{-0.5}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$

Корни $x=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ и $x=0$ не принадлежат отрезку $[1;e].$

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на концах отрезка

$f(1)=1^2\cdot \ln 1=0~~~-\min\\ f(e)=e^2\ln e=e^2~~~-\max$

Наибольшее значение функции равно e², а наименьшее — 0.