Question

Знайти площу фігури , що обмежена лініями у=6х-х^2 та у=0

Answer 1

Для начала найдём точки пересечения этих двух функций для того, чтобы показать пределы интегрирования:

$6x - {x}^{2} = 0 \\ - {x}^{2} + 6x = 0 \\ {x}^{2} - 6x = 0 \\ x_{1} = 0 \\ x_{2} = 6$

Эти точки будут пределами.

Чтобы найти площадь фигуры, будем использовать формулу Ньютона-Лейбница (формулу написать не смогу, не хватит фантазии, так что её можно найти в интернете).

Интегрируем функцию y = 6x - x²:

$|6x - {x}^{2} dx = |6xdx - | {x}^{2} dx = 3 {x}^{2} - \frac{ {x}^{3} }{3}$

(где | - это значёк интеграла)

Теперь находим разность первообразных:

1. Подставляем в первообразную верхний предел:
2. $3 \times {6}^{2} - \frac{ {6}^{3} }{3} = 36$
3. Подставляем в первообразную нижний предел:
4. $3 \times {0}^{2} - \frac{ {0}^{3} }{3} = 0$
5. Находим разность:
6. $36 - 0 = 36$

Это и есть площадь фигуры.

Ответ: 36.