Question

Не могу понять, как расписать числитель)

Answer 1

$\frac{sin(2x)-\sqrt{2}cos(x)+\sqrt{2}sin(x)-1}{lg(tg(x)+2)} =0\\sin(2x)-1=-2sin^2(\frac{\pi}{4}-x )\\-\sqrt{2}cos(x)+\sqrt{2}sin(x)=-2sin(\frac{\pi}{4}-x )\\\frac{-\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4}-x )(\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4}-x )+\sqrt{2}) }{lg(tg(x)+2)}=0\\\frac{sin(\frac{\pi}{4}-x)(sin(\frac{\pi}{4}-x )+1)}{lg(tg(x)+2)} =0\\lg(tg(x)+2)\neq0<=>tg(x)\neq -1<=>x\neq -\frac{\pi}{4}+\pi k\\tg(x)>-2<=>-arctg(2)+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k$

ОДЗ:x∈($(-arctg(2)+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k )$)\{$-\frac{\pi}{4}+\pi k$}

$sin(\frac{\pi}{4}-x)(sin(\frac{\pi}{4}-x )+1)=0\\sin(\frac{\pi}{4}-x)=0=>x=\frac{\pi}{4}+\pi k\\sin(\frac{\pi}{4}-x)=-1=>x= -\frac{\pi}{4}+\pi k$

С учётом нашего ОДЗ получается только один корень

$x=\frac{\pi}{4}+\pi k$

k∈Z