Ответы
Ответ дал:
2
Ответ: 1/3.
Объяснение:
Сумма квадратов первых n чисел Sn=n*(n+1)*(2*n+1)/6=(2*n³+3*n²+n)/6, поэтому Sn/(n³+3*n+2)=(2*n³+3*n²+n)/(6*n³+18*n+12). Разделив числитель и знаменатель этой дроби на n³, получим выражение (2+3/n+1/n²)/(6+18/n²+12/n³). Так как при n⇒∞ выражения 3/n, 1/n², 18/n² и 12/n³ стремятся к нулю, то искомый предел равен 2/6=1/3.
Vasily1975:
Это натолкнуло меня на мысль, что сумма квадратов первых n натуральных чисел есть многочлен третьей степени, т.е. a*n^3+b*n^2+c*n+d.
Затем, найдя сумму квадратов для n=1, n=2,n=3 и n=4 (то есть 1, 5, 14 и 30), я получил систему из четырёх уравнений с четырьмя же неизвестными:
a+b+c+d=1, 8*a+4*b+2*c+d=5, 27*a+9*b+3*c+d=14, 64*a+16*b+4*c+d=30.
Решая её, находим a=1/3, b=1/2, c=1/6 и d=0.
Т.е. 1^2+2^2+.....+n^2=1/3*n^3+1/2*n^2+1/6=(2*n^3+3*n^2+n)/6=n*(2*n^2+3*n+1)/6. А так как 2*n^2+3*n+1=(2*n+1)*(n+1), то 1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6.
Затем уже я нашёл в литературе эту формулу и убедился, что не ошибся.
Кстати, тем же способом я нашёл сумму кубов и сумму четвёртых степеней первых n натуральных чисел.
Отсюда следует общий вывод: сумма n натуральных чисел, возведённых в степень k, представляет собой многочлен степени k+1.
Вернее, сумма ПЕРВЫХ n натуральных чисел, возведённых в степень k.
Ещё уточнение: k - НАТУРАЛЬНОЕ число.
Вас заинтересует
4 месяца назад
4 месяца назад
5 месяцев назад
2 года назад
2 года назад
7 лет назад