Question

Квадратный лист бумаги разрезали на восемь квадратов, семь из которых имеют площадь 25 см2 каждый. Чему равна площадь оставшегося, восьмого квадрата?
(Ответ выразите в квадратных сантиметрах.)
​

Answer 1

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Тогда сторона маленького квадрата √25 = 5 см. У 7 из 8 квадратов сторона имеет целую длину (5см), поэтому сторона 8го квадрата тоже целая значит, длина листа бумаги целая.

Пусть сторона неизвестного квадрата n см, а длина листа L см.

Тогда распишем площадь листа: L² = 7·25+n² см².

Решим уравнение в целых числах.

L²-n² = 7·5·5

(L-n)(L+n) = 7·25 = 35·5

L и n это положительные целые числа, при этом L>n, поэтому множители левой части уравнения являются натуральными числами. L-n < L+n.

Рассмотрим два случая.

1.

$\displaystyle +\left \{ {{L-n=7} \atop {L+n=25}} \right.\\\\\left \{ {{2L-n+n=7+25} \atop {n=25-L\qquad \qquad }} \right. \quad \left \{ {{L=\dfrac{32}2 =16\quad } \atop {n=25-16=9}} \right.$

Если длина квадратного листа 16см и мы разрезали его на квадраты, то 16см можно записать, как сумму сторон разрезанных квадратов. Но не получится т.к. 5+5+5<16;  5+5+5+5>16;  5+5+9>16;  5+9<16.

Этот вариант отпадает.

2.

$\displaystyle +\left \{ {{L-n=5} \atop {L+n=35}} \right. \\\\\left \{ {{2L-n+n=5+35} \atop {n=35-L\qquad \qquad }} \right. \quad \left \{ {{L=\dfrac{40}2=20\qquad } \atop {n=35-20=15}} \right.$

Заметим, что длину листа (20см) можно записать, как 5+15 см. Поэтому этот вариант реализуется.

15см - сторона оставшегося, 8го квадрата, тогда его площадь 15² = 225 см².

Ответ: 225.