Question

Найти область сходимости ряда

Answer 1

$\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\frac{n(2x)^n}{n+1}\\\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n\to\infty}|\frac{(n+1)(2x)^{n+1}}{n+2}*\frac{n+1}{n(2x)^n}|=|2x|*\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}=\\=|2x|<1\\-1<2x<1\\-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}\\\\\\x=\frac{1}{2}\\\sum^\infty_{n=1}\frac{n}{n+1}$

Данный ряд расходится по необходимому признаку сходимости

$\displaystyle x=\frac{1}{2}\\\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n*n}{n+1}$

Данный ряд расходится по признаку Лейбница, ряд знакочередующийся однако члены ряда не убывают по модулю. (Предел |a_n| не равен 0)

Соответственно область сходимости ряда:

$x\in(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$