Question

Задано координаты вершины пирамиды A(4, 4, -10) ; B(4, 10, 2) ; C(2, 8, 4) ; D(9, 6, 4) . Найти:

4) угол между ребром AD и гранью ABC

5) уравенение высоты DH, опущенной из вершины D на грань ABC и ее длину

6) точку пересеченя выосты DH с гранью АВС

СПАСИБО!

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды:

A(4, 4, -10) ; B(4, 10, 2) ; C(2, 8, 4) ; D(9, 6, 4).

4) Находим векторы АВ и АС.

АВ = (0;6; 12), АС = (-2; 4; 14).

Их векторное произведение равно.

i           j         k |         i         j

0         6        12 |        0         6

-2        4        14 |       -2         4 = 84i - 21j +0k - 0j - 4+ 12k = 36i - 24j + 12k.

Нормальный вектор к плоскости АВС равен (36; -24; 12).

Площадь АВС равна половине модуля векторного произведения:

S = (1/2)*√(1296 + 576 + 144) = √2016/2 = 6√14 ≈ 22,45 кв.ед.  

Направляющий вектор высоты DH равен нормальному вектору плоскости АВС, то есть (36; -24; 12), или сокращённый на 12:

DH: (3; -2; 1).

Отсюда получаем уравнение DH с учётом координат точки D:(9; 6; 4).

DH: (x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1.

Уравнение плоскости АВС найдём по точке А и нормальному вектору DH:  A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

Если теперь в уравнении раскрыть скобки и привести подобные члены, получим общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0 ,

где D = −Ax0 − By0 − Cz0, A = 3, B = -2, C = 1, точка A(4, 4, -10).

Найдём значение D:

D = -3*4 - (-2)*4 - 1*(-10) = -12 + 8 + 10 = 6.

Уравнение АВС: 3x - 2y + z + 6 = 0.

Определяем вектор AD:(9 - 4 = 5; 6 - 4 = 2; 4 - (-10) = 14) = (5; 2; 14).

Теперь находим угол между  AD и АВС.

угол между этой прямой и плоскостью  

sin φ =            | A · l + B · m + C · n |  

       √(A² + B² + C²) · √(l² + m² + n²)    

A = 3, B = -2, C = 1 (5; 2; 14)

sin φ =  (3*5 + (-2)*2 + 1*14)/(√(3² +(-2)² + 1²) · √(5² + 2² + 14²) =

        = (15 - 4 + 14)/(√(9 +4 + 1) · √(25 + 4 + 196)  = 0,4454.  

Угол fi =  0,4617 радиан  или 26,4512 градуса.

5) Уравнение DH определено выше:

DH: (x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1.

6) Уравнение DH  представим в параметрическом виде.

(x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1 = t

x = 3t + 9,

y = -2t + 6,

z = t + 4.

И подставим в уравнение АВС.

9t + 27 + 4t - 12 + t + 4 + 6 = 0.

14t + 25 = 0/

t = -25/14.

Получаем координаты точки пересечения DH с плоскостью АВС.

x = 3*(-25/14) + 9 = 51/14 ≈ 3,643 .

y = -2*(-25/14)+ 6 = 134/14 ≈ 9,571.

z = (-25/14) + 4  = 31/14 ≈ 2,214.

Длину DH можно получить двумя способами:

- по разности координат точек D и H,

- по формуле H = 3V/S(ABC).

Объём равен (1/6) смешанного произведения (АВ х АС) * AD.

АВ x AC= (36; -24; 12),  AD = (5; 2; 14).

V = (1/6)*(180 - 48 + 168) = (1/6)*300 = 50 куб.ед.

Тогда DH = (3*50)/6√14 = 25√14/14 ≈ 3,528.