Question

Найдите наибольший из коэффициентов a и b кубического многочлена x3+ax2+bx+3, имеющего три различных корня, два из которых являются корнями квадратного трехчлена x2+2x−1.

Answer 1

Ответ:

Наибольший из коэффициентов a и b равен a = −1

Пошаговое объяснение:

Пусть кубический многочлен x³+a·x²+b·x+3 имеет третий корень x₃, отличный от корней x₁ и x₂ кубического многочлена, то есть (x₃²+2·x₃−1)≠0. Тогда кубический многочлен представим в виде

x³+a·x²+b·x+3 = (x-x₃)·(x²+2·x−1)

Раскроем скобки :

x³+a·x²+b·x+3 = x³+2·x²−x−x₃·x²−2·x·x₃+x₃

Сравним коэффициенты членов многочлен с левой и правой части:

x³ : 1 = 1

x² : a = 2−x₃

x¹ : b = −1 − 2·x₃

x⁰ : 3 = x₃

Отсюда a = 2−x₃ = 2−3 = −1 и b = −1 − 2·x₃ = −1 − 2·3 = −7.

А наибольшее из коэффициентов a = −1 и b = −7 будет a = −1.