Question

Решить дифференциальное уравнение и сделать проверку

$y' = 2y + e^x - x, y(0) = 1/4$
Заранее спасибо

Answer 1

y0' = 2y0 -> y0 = C * e^(2x) -> y = C(x) * e^(2x)

y' = C'(x) * e^(2x) + 2C(x) * e^(2x) = 2C(x) * e^(2x) + e^x - x

C'(x) = (e^x - x)/e^(2x) = e^(-x) - x*e^(-2x)

C(x) = C - e^(-x) + x*e^(-2x)/2 + e^(-2x)/4

y = C * e^(2x) - e^x + x/2 + 1/4

y(0) = C - 1 + 1/4 = 1/4 -> C = 1

y = e^(2x) - e^x + x/2 + 1/4

y' = 2e^(2x) - e^x + 1/2 = 2*(e^(2x) - e^x + x/2 + 1/4) + e^x - x = 2y + e^x - x