Question

Нужна помощь, пожалуйста)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

19) Значит расписываем:

$\int\limits^{} {\frac{x^3 + 1}{x^2 - x} } \, dx = \int\limits^{} {\frac{x^3}{x^2 - x} } \, dx + \int\limits^{} {\frac{1}{x^2 - x} } \, dx$

Найдем сначала первый интеграл:

$\int\limits^{} {\frac{x^3}{x^2 - x} } \, dx = \int\limits^{} {\frac{x^2}{x - 1} } \, dx = \int\limits^{} {\frac{x^2 -1 + 1}{x - 1} } \, dx = \int\limits^{} {\frac{(x -1)(x+1) + 1}{x - 1} } \, dx =\int\limits^{} {({x + 1 }) } \, dx + \int\limits^{} {\frac{1}{x - 1} } \, dx = \frac{(x)^2}{2} + x + ln(x-1) + C$

Теперь второй:

$\int\limits^{} {\frac{1}{x^2-x} } \, dx = \int\limits^{} {\frac{1}{x(x-1)} } \, dx = \int\limits^{} {\frac{1}{x-1} } \, dx - \int\limits^{} {\frac{1}{x} } \, dx = ln(x-1) - ln(x) + C = ln(\frac{x-1}{x}) + C$

Теперь сложим их:

$\frac{(x)^2}{2} + x + ln(x-1) + ln(\frac{x-1}{x}) + C = \frac{x^2}{2} + x + 2ln(x-1) - ln(x)  + C$

20)$\int\limits^{} {\frac{x^3-17}{x^2-4x+3}} \, dx = \int\limits^{} {\frac{x^3}{(x-1)(x-3)}} \, dx  - 17\int\limits^{} {\frac{1}{(x-1)(x-3)}} \, dx = \int\limits^{} {\frac{x^3-1 + 1}{(x-1)(x-3)}} \, dx - \frac{17}{2}(\int\limits^{} {\frac{1}{(x-3)}} \, dx - \int\limits^{} {\frac{1}{(x-1)}} \, dx) = \int\limits^{} {\frac{(x-1)(x^2+x+1) + 1}{(x-1)(x-3)}} \, dx - \frac{17}{2}(ln(x-3) - ln(x-1) +C) = \int\limits^{} {\frac{x^2+x+1}{x-3}} \, dx + \int\limits^{} {\frac{1}{(x-1)(x-3)}} \, dx + I$; Там I - это посчитанный уже интеграл.

$\int\limits^{} {(x+4 + \frac{13}{x-3})} \, dx = \frac{x^2}{2} + 4x + 13ln(x-3) + C$

$\frac{x^2}{2} + 4x + 13ln(x-3) - \frac{17}{2}ln(x-3) + \frac{17}{2}ln(x-1) +C$

Можно еще упростить логарифмы, где x-3 под ними.