Question

многочлен с целыми коэффициентами
называется хорошим если наибольшим общий делитель его коэффициентов равен
1) докажите что произведение двух хороших многочленов снова является хорошим много членом

Answer 1

Пусть $f(x)=\sum_{i=0}^nf_ix^i,\:g(x)=\sum_{i=0}^mg_ix^i, (f_n\neq0, g_m\neq0)$ - хорошие.

Пусть $h(x)=f(x)g(x)=\sum_{i=0}^{n+m}h_ix^i$ не хороший. Тогда, по определению, существует такое простое число $p$, которое нацело делит все $h_i$. По определению $p$ не может делить все $f_i$ и $g_i$.

Пусть минимальные по номеру коэффициенты многочленов $f(x),\:g(x)$, не делящиеся на $p$, равны $f_k, g_l$.

$h_{k+l}=\sum_{i=0}^{k-1}f_ig_{k+l-i}+f_kg_l+\sum_{i=k+1}^{k+l}f_ig_{k+l-i}$

$f_i\vdots p\: \forall i<k=>\sum_{i=0}^{k-1}f_ig_{k+l-i}\vdots p \\ g_{k+l-i}\vdots p\: \forall i>k=>\sum_{i=k+1}^{k+l}f_ig_{k+l-i}\vdots p\\ h_{k+l}\vdots p$

Тогда $f_kg_l \vdots p$. Т.к. $p$ - простое, то хотя бы один из $f_k,\:g_l$ кратен $p$.

Противоречие с тем, что $f_k,\:g_l$ не делятся на $p$.

А значит $h(x)=f(x)g(x)=\sum_{i=0}^{n+m}h_ix^i$ хороший.