Question

Составить каноническое уравнение общего перпендикуляра к двум данным скрещивающимся прямым взяв в качестве опорной точку пересечения этого перпендикуляра с одной из данных прямых. Определить координаты обеих точек пересечения.

Answer 1

Даны уравнения прямых:

(x + 1)/3 = y/(-1) = (z + 1)/(-1)  и   (x + 1)/2 = (y - 3)/(-1) = z/1 .  

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

x = 3t - 1,

y = -t,

z = t - 1.  

Примем точку Н1 как точку пересечения первой заданной прямой и общего перпендикуляра.

Её координатам  соответствует вполне конкретное значение параметра, обозначим его через to . Тогда координаты точки запишутся в виде:

x = 3to - 1,

y = -to,

z = to - 1.

Аналогично для точки Н2 получим

x = 2so - 1,

y = -so + 3,

z = -so.

2) Находим вектор Н1Н2 по двум  принципам.

Н1Н2 = p  как результат векторного произведения направляющих векторов заданных прямых (ведь он перпендикулярен обеим прямым).

i        j       k |       i        j

3     -1       1 |       3       -1

2     -1       1 |       2       -1  =    -1i + 2j - 3k -3j + 1i + 2k = 0i - 1j - 1k.

p = (0; -1; -1).

С другой стороны, вектор Н1Н2 проходит через 2 точки, координаты которых заданы в пункте 1.

Н1Н2: (2so - 3to; -so + to + 3; so - to + 1).

Поскольку направляющие векторы  коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

(2so - 3to; -so + to + 3; so - to + 1) = λ(0; -1; -1).

Или покоординатно:

2so - 3to = λ*0;

-so + to + 3 = λ*(-1);

so - to + 1 = λ*(-1)

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера.

so to λ B  

2 -3 0 0 Определитель  -2

-1 1 1 -3  

1 -1 1 -1  

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:    

0 -3 0  

-3 1 1  Определитель  -6

-1 -1 1  

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:    

2 0 0  

-1 -3 1  Определитель  -4

1 -1 1  

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:    

2 -3 0  

-1 1 -3  Определитель  4

1 -1 -1  

so= -6/ -2 = 3  

to= -4/ -2 = 2  

λ= 4/ -2 = -2.

Отсюда находим координаты точек:

Н1 = (5; -2; 1) и Н2 = )5; 0; 3).

Вектор Н1Н2 = (0; 2; 2) и его длина √(0²+ 2² + 2²) = √8 = 2√2.