Question

Изобразите на координатной плоскости множество всех точек (x,y), удовлетворяющих условие $x^2=y+sqrt(y+x)$

Answer 1

$x^{2}=y+\sqrt{y+x}$

Понятно, что $y+x\geq 0$ и $y+\sqrt{y+x}\geq 0$. С учетом этого: $x=\pm\sqrt{y+\sqrt{y+x}$. Рассмотрим два случая:

1) $x>0$. Тогда $x=\sqrt{y+\sqrt{y+x}$. Теперь можно пойти двумя путями: положить $f(x)=\sqrt{y+x}$ и заметить, что уравнение равносильно $f(f(x))=x$, что можно решить из соображений монотонности. Или переписать (остановимся на этом варианте - он интуитивно проще и понятней): $x=\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}$ - просто заменяя x на само себя в правой части. Надо сказать, что оправданность такого перехода лежит на плечах тех же соображений, которые используются в первом методе. Можно перейти к уравнению-следствию: $x^{2}-y=x\Leftrightarrow y=x^{2}-x$;

2) $x\leq 0$

В таком случае $x=-\sqrt{y+\sqrt{y+x}}$; Можно действовать подобно предыдущим преобразованиям, получим: $x=-\sqrt{y+\sqrt{y-\sqrt{y+\sqrt{y-...}}}}$; Обозначим $f=\sqrt{y+\sqrt{y-...}},\; g=\sqrt{y-\sqrt{y+...}}$; Имеем систему уравнений $\left \{ {{f^{2}=g+y} \atop {g^{2}=y-f}} \right.\Rightarrow \left \{ {{f^{2}=g+y} \atop {f^{2}-g^{2}=g+f}} \right. \Rightarrow \left \{ {{f^{2}=y+g} \atop {(f+g)(f-g-1)=0}} \right.$; Итак, $f=g+1$; Тем самым $f^{2}=y+f-1\Leftrightarrow f^{2}-f+1-y=0$; Решая это уравнение и переходя обратно к замене, получаем $-x=\frac{1+\sqrt{4y-3}}{2}\Rightarrow y=x^{2}-x+1$;

Теперь строим все случаи и исключаем точки, которые не удовлетворяют неравенствам.

Итог на картинке