Question

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка.

Answer 1

$yy''+(y')^2=0$

Замена:

$y'=p\\y''=\dfrac{dy'}{dx}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dy'}{dy}=y'\dfrac{dy'}{dy}=p\dfrac{dp}{dy}$

Получаем уравнение:

$y\cdot p\dfrac{dp}{dy}+p^2=0\\\dfrac{pdp}{p^2}=-\dfrac{dy}{y}\\\dfrac{dp}{p}=-\dfrac{dy}{y}\\\\\ln p=-\ln y+\ln C\\\ln p=\ln \dfrac{C}{y} \\p=\dfrac{C}{y}$

Обратная замена:

$y'=\dfrac{C}{y}\\\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{C}{y}\\ydy=Cdx\\\frac{y^2}{2} =Cx+C_0\\y^2=2Cx+2C_0\\y=\pm\sqrt{2Cx+2C_0}$

Для удобства, переобозначив $C_1=2C$ и $C_2=2C_0$, получим:

$y=\pm\sqrt{C_1x+C_2}$

Рассмотрим первое условие задачи Коши:

$y(0)=1$

Заметим, что случай с функцией $y=-\sqrt{C_1x+C_2}$ не удовлетворяет условию задачи, так как значения, даваемые этой функцией неположительные, а по условию задачи $y(0)=1$.

Для другой функции имеем:

$\sqrt{C_1\cdot0+C_2}=1\\\sqrt{C_2}=1\\\Rightarrow C_2=1$

Рассмотрим второе условие задачи Коши:

$y'(0)=1$

Предварительно найдем производную функции:

$y=\sqrt{C_1x+C_2}\\y'=\dfrac{1}{2\sqrt{C_1x+C_2}} \cdot(C_1x+C_2)'=\dfrac{C_1}{2\sqrt{C_1x+C_2}}$

Подставляем известные значения:

$\dfrac{C_1}{2\sqrt{C_1\cdot0+1}}=1\\\dfrac{C_1}{2\sqrt{1}}=1\\\dfrac{C_1}{2}=1\\\Rightarrow C_1=2$

Таким образом частное решение имеет вид $y=\sqrt{2x+1}$