Точки A(1;3;-2), B(-3;3;-2), C(-1;4;-2),M(-1;3;2) являются вершинами пирамиды MABC.Найти радиус шара, описанного вокруг данной пирамиды
Ответы
Да, можно это задание решать с помощью системы уравнений.
Но заданные координаты точек позволяют упростить решение.
Точки А. В и С имеют одинаковые координаты по оси Oz, значит, они лежат в горизонтальной плоскости, параллельной хОу.
Значит, центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на одной вертикали с центром шара.
Радиус описанной окружности
R = AB*AC*BC .
4*S
Расчет длин сторон:
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √16 = 4.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √5 ≈ 2,2361.
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √5 ≈ 2,2361.
Площадь треугольника ABC
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 2.
Получаем R(ABC) = (4*√5*√5)/(4*2) = 20/8 = 5/2 = 2,5.
Центр (точка О1) имеет ординату 4 - 2,5 = 1,5.
Так как основание - равнобедренный треугольник (АС = ВС), то точки С, М и О лежат в одной плоскости, перпендикулярной АВ.
Между точками С и М расстояние по вертикали 4 ед., по горизонтали 1 ед. СМ = √(16 + 1) = √17.
Центр О шара равно удалён от С и М, то есть лежит на пересечении перпендикуляра к середине СМ (пусть это точка К) с вертикалью ОО1 через центр О1 описанной окружности АВС.
Координаты точки К = ((-1+(-1)/2=-1; (4+3)/2=3,5; (-2+2)/2=0)
К = (-1; 3,5; 0).
Проекция КО на горизонталь равна 3,5 - 1,5 = 2.
По вертикали из подобия имеем 2*(1/4) = 1/2.
Длина ОК = √(2² + (1/2)²) = √(4 + (1/4)) = √17/2.
То есть, радиус МО - это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.
Получаем: R = (√17/2)*√2 = √34/2.