Пусть x,y – натуральные числа. Известно, что произведение xy^2=416787525. На какую максимальную степень тройки может делиться x^2+y^2?
Ответить
Ответы
Ответ: 6
Объяснение:
Нетрудно убедится , несколько раз поделив число 416787525 на 3 , что оно делится максимум на 3^9. А более точно : 3^9 * 11^2 *5^2 *7 -разложение этого числа на простые множители. Поскольку число 3 является простым , то справедливо что : y^2 =3^(2A) *N^2 ; x= 3^B *M , где
A,B,N,M- натуральные числа (нулевые степени не рассматриваем , поскольку в этом случае сумма квадратов на 3 делится не будет , ведь сумма делящегося и неделящегося на 3 числа не делится на 3).
Причём N и M не кратны 3.
x^2+y^2 = 3^(2B)*M^2 +3^(2A)*N^2
Очевидно , что максимальная степень тройки на которую может делится это выражение является наименьшее из чисел 2A или 2B .
В случае же когда они равны , это случай более интересный, его мы рассмотрим отдельно .
Действительно, пусть к примеру 2B>2A, тогда получим :
x^2+y^2=3^(2A) *(3^(2B-2A)*M^2 +N^2) .
Поскольку 3^(2B-2A)*M^2 делится на 3, а N^2 не делится, то число в скобках больше не делится на 3 .
В случае же, когда 2A=2B=C ситуация немного иная .
В этом случае имеем
x^2+y^2=3^C *(N^2+M^2)
Про выражение N^2+M^2 так сразу сказать, на какую степень тройки оно делится не получится .
Но мы точно можем сказать , что оно как минимум кратно на 3^C .
Поскольку наше число равно x*y^2 , то 2A+B=9
Рассмотрим все варианты
1) A=1 B=7 - сумма квадратов делится максимум на 2 степень
2) A=2 B=5 - сумма квадратов делится максимум на 4 степень
3) A=3 B=3 - сумма квадратов делится как минимум на 6 степень
4) A=4 B=1 - сумма квадратов делится максимум на 2 степень
Очевидно, что нам подходит третий вариант, в этом случае сумма квадратов делится как минимум на 6 степень.
Осталось, если это возможно подобрать такие N и М, чтобы N^2+M^2 делилось на максимально возможную степень числа 3 .
Имеем N^2 *M = 5^2* 11^2 * 7
Учитывая что число 7 имеет первую степень и все числа тут простые, то возможно 3 варианта
1) N^2=5^2*11^2 ; M^2=7^2
2) N^2=5^2 ; M^2= 11^4 *7^2
3) N^2=11^2 ; M^2=5^4 * 7^2
Можно конечно банально посчитать эти огромные числа и проверить каждый случай, но мы так делать не будем .
Преобразуем каждое число через остатки от деления на 3
5=3*1+2
7=3*2+1
11= 3*3+2
Рассматриваем каждый вариант
1) N^2+M^2 будет иметь при делении на 3 тот же остаток, что и число
2^2 * 2^2 +1^2 = 17 - не делится на 3, то есть не подходит
2) 2^2 +2^4 * 1^2 =4+16=20 -не делится на 3, не подходит
3) Абсолютно аналогично прошлому случаю.
То есть не в одном из вариантов N^2+M^2 не делится на 3.
Вывод : x^2+y^2 делится максимум на 6 степень тройки .