Ответы
Даны координаты вершин треугольника: A1(-5,2), A2(2,-3), A3(-10,5).
а) Периметр треугольника А1А2А3.
1)Координаты векторов. Для удобства обозначим точки А, В и С.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 2-(-5) = 7; Y = -3-2 = -5
AB(7;-5)
AC(-5;3)
BC(-12;8)
2) Длины сторон треугольника.
Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле: d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²).
х у Квадрат
АВ = 7 -5 74 8,602325267
ВС = -12 8 208 14,4222051
АС = -5 3 34 5,830951895
Периметр Р = 28,85548226
3) Периметр треугольника равен √74 + √34 + √208 ≈ 28,855.
б) Величины углов треугольника А1А2А3.
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
cos A = (a1*a2)/( |a1|*|a2|),
где a1*a2 = X1X2 + Y1Y2.
Модули векторов сторон определены ранее: |AB| = √74, |BC| = √208, |AC| = √34.
Найдем угол между векторами AB(7;-5) и AC(-5;3)
cos〖A= (7*(-5)+(-5)*3)/(√74*√34)=-50/(2√629)〗=-0,99682.
A = arc cos -0,99682 = 3,06176 радиан или 175,426 градуса.
Найдем угол между векторами BA(-7; 5) и ВC(-12; 8)
cos〖B= (-7*(-12)+5*8)/(√74*√208)=124/(4√962)〗=0,99948.
B = arc cos 0,99948 = 0,032247 радиан или 1,84761 градуса.
Найдем угол между векторами CA(5; -3) и CB(12; -8)
cos〖C= (5*12+(-3)*(-8))/(√34*√208)=84/(4√442)〗=0,998868.
C = arc cos 0,998868 = 0,04758 радиан или 2,72631 градуса.
в) Уравнения сторон.
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
(x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )
Координаты точек: A(-5,2), В(2,-3), С(-10,5).
В знаменателе – координаты векторов сторон: AB(7; -5), AC(-5; 3), BC(-12; 8).
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
(x+5)/7=(y-2)/(-5)
или -5x – 25 = 7y – 14,
5x + 7y + 11 = 0 общее уравнение,
или y = (-5/7)х – (11/7) уравнение с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой AC.
Каноническое уравнение прямой:
(x+5)/(-5)=(y-2)/3
или 3х + 5y + 5 = 0.
или y = (-3/5)x - 1.
Уравнение прямой BC.
Каноническое уравнение прямой:
(x-2)/(-12)=(y+3)/8
или y = (-2/3)x – (5/3) или 3y + 2x +5 = 0.
г) Уравнение высоты АН и медианы ВМ.
Угловой коэффициент стороны ВС(-12;8) равен:
k(ВC) = Δу/Δх = 8/(-12) = -2/3.
Тогда угловой коэффициент перпендикуляра АН к стороне ВС равен:
к(АН) = -1/k(BС) = -1/(-2/3) = 3/2.
Уравнение АН: у = (3/2)х + в. Подставим координаты точки A(-5,2).
2 = (3/2)*(-5) + в, отсюда в = 2 + (15/2) = 19/2.
Уравнение высоты АН: y = (3/2)x + (19/2) или 3х – 2у + 19 = 0.
Уравнение медианы ВМ.
Точка М как середина АС: ((-5-10)/2=-7,5; (2+5)/2=3,5) = (-7,5; 3,5). Точка В(2,-3)
Вектор ВМ: (-7,5 – 2 = -9,5; 3,5 – (-3) = 6,5) = (-9,5; 6,5).
Уравнение медианы ВМ: (х - 2)/(-9,5) = (у + 3)/6,5 или, приведя к целым коэффициентам:
(х - 2)/(-19) = (у + 3)/13.
Общее уравнение 13х + 19у + 31 = 0.
Или в виде с угловым коэффициентом: у = (-13/19)х - (31/19).
д) Точка К пересечения высоты АН и медианы ВМ.
Уравнение высоты АН: y = (3/2)x + (19/2).
Уравнение медианы ВМ: у = (-13/19)х - (31/19).
Приравниваем правые стороны уравнений:
(3/2)x + (19/2) = (-13/19)х - (31/19),
(83/38)х = -423/38,
х = -423/83 ≈ -5,0964.
у = (3/2)*(-423/83) + (19/2) = 1,8554.
Точка К ( -5,0964; 1,8554).
е) Уравнение параллельной прямой BC, проходящей через точку А(-5; 2)
Уравнение прямой BC: y = (-2/3)х – (5/3).
Уравнение KN параллельно BC находится по формуле:
y - y0 = k(x - x0)
Подсавляя x0 = -5, k = -2/3, y0 = 2 получим:
y-2 = -2/3(x-(-5))
или y = -2/3x - 4/3 или 2х + 3y + 4 = 0.
ж) Площадь треугольника АВС.
Находим площадь треугольника по формуле:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.
Подставив координаты точек A(-5, 2), В(2, -3), С(-10, 5), получаем:
S = (1/2)*|((2 - (-5))*(5 – 2) – ((-10) – (-5))*((-3) – 2))| = 2 кв.ед.
