Question

Четырехугольник ABCD вписан в окружность.Известно что BD=7,CD=8,BC<4,угол BAD=120 градусов.Определить угол CAD.

Answer 1

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна 180°.

∠BAD+∠BCD = 180°;

∠BCA = 180°-∠BAD = 180°-120° = 60°

• Вписанные углы опирающиеся на одну дугу равны.

∠CAD - вписанный и опирается на ∪CD

∠CBD - вписанный и опирается на ∪CD

∠CAD = ∠CBD

• По теореме синусов в треугольнике CBD:

$\dfrac{CD}{\sin{CBD}} =\dfrac{BD}{\sin{BCA}}\\\\\sin{CBD}=\dfrac{CD\cdot \sin {BCA}}{BD} \\\\\sin{CBD}=\dfrac{8\cdot \sin{60^\circ }}7=\dfrac{8\cdot \frac{\sqrt3}{2}}7 =\dfrac{4\sqrt3 }7$

• По основному тригонометрическому тождеству (sin²α+cos²α=1):

$\cos^2{CBD} =1-\sin^2{CBD} =1-\left( \dfrac{4\sqrt3 }7 \right) ^2\\\\\cos^2{CBD} =\dfrac{49-16\cdot 3}{49} =\dfrac1{7^2}\\\\\cos{CBD} =\pm \dfrac17$

Пусть BC=x, тогда 0<x<4.

• Рассмотрим случай, когда cos(CBD) = 1/7

По теореме косинусов в треугольнике CBD:

$CD^2=BC^2+BD^2-2BC\cdot BD\cdot \cos{CBD} \\\\8^2=x^2+7^2-2x\cdot 7\cdot \dfrac17\\\\x^2-2x+49-64=0$

x²-2x-15 = 0

D = (-2)²-4·1·(-15) = 4+60 = 8²

x₁ = (2+8)/2 = 10/2 = 5

x₂ = (2-8)/2 = -6/2 = -3

Ни один корень не подходит под условие 0<x<4.

• Теперь случай, когда cos(CBD) = -1/7

По теореме косинусов в треугольнике CBD:

$CD^2=BC^2+BD^2-2BC\cdot BD\cdot \cos{CBD} \\\\8^2=x^2+7^2-2x\cdot 7\cdot \left( -\dfrac17\right) \\\\x^2+2x+49-64=0$

x²+2x-15 = 0

D = 2²-4·1·(-15) = 4+60 = 8²

x₃ = (-2+8)/2 = 6/2 = 3

x₄ = (-2-8)/2 = -10/2 = -5

0 < x₃ < 4

x = 3 удовлетворяет условию, значит cos(CBD) = -1/7.

cos(CBD) < 0,  а sin(CBD) > 0. Поэтому ∠CBD - угол второй четверти, тогда ∠CBD = arccos(-1/7)

∠CAD = arccos(-1/7)

Ответ: arccos(-1/7).