Question

докажите, что для каждого n>1 и k>1 число (n^k+2)-n^k делится на 12.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

преобразуем выражение:

${n}^{k + 2} - {n}^{k} = {n}^{k} {n}^{2} - {n}^{k} = \\ = {n}^{k} ( {n}^{2} - 1) = {n}^{k} (n - 1)(n + 1) = \\ = {n}^{k - 2} ((n - 1) \times {n}^{2} \times (n + 1))$

значит множители числа - три подряд идущих числа. из трёх подряд идущих числа одно

будет кратно тройке. Если из этих чисел два числа четные (первое и третье) то при перемножении эти числа будут давать кратность 4, но если только одно число четное (второе), тогда мы получаем, что это число:

${n}^{2} = {(2i)}^{2} = 4 {i}^{2}$

тоже будет кратность 4.

Так как мы имеем кратность 3 и 4 в нашем числе, то это число делится на 12