Question

Докажите что сумму кубов пяти последовательных натуральных чисел можно разложить в произведение трех целых чисел каждое из которых больше 1

Answer 1

$n\in N/\{1\}/\{2\}\\ (n-2)^3+(n-1)^3+n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=((n-2)^3+(n+2)^3)+((n-1)^3+(n+1)^3)+n^3=(n+2+n-2)((n-2)^2-(n-2)(n+2)+(n+2)^2)+(n+1+n-1)((n-1)^2-(n-1)(n+1)+(n+1)^2)+n^3=2n(2(n^2+4)-(n^2-4))+2n(2(n^2+1)-(n^2-1))+n^3=2n(n^2+12)+2n(n^2+3)+n^3=2n^3+24n+2n^3+6n+n^3=5n^3+30n=5\cdot n\cdot (n^2+6)\\ 5>1,\: n>2>1,\: n^2+6>2^2+6>1$

Ч.т.д.

Формулы: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\ (a-b)^2+(a+b)^2=a^2-2ab+b^2+a^2+2ab+b^2=2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)$