Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ:
определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение (xy+y²)dx-x²dy=0

Answer 1

Перепишем диф. уравнение в следующем виде

$xy+y^2-x^2y'=0$

Тип: линейное однородное дифференциальное уравнение.

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$. Получаем:

$ux^2+u^2x^2-x^2(u'x+u)=0\ x=0;\ \ u+u^2-u'x-u=0\ \ u'x=u^2$

Свели к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

$displaystyle int dfrac{du}{u^2}=int dfrac{dx}{x}~~Rightarrow~~ -dfrac{1}{u}=ln |x| +C\ \ u=-dfrac{1}{ln |x|+C}\ \ dfrac{y}{x}=-dfrac{1}{ln |x|+C}~~~Rightarrow~~~ boxed{y=-dfrac{x}{ln |x|+C}}$

Общее решение: $y=-dfrac{x}{ln|x|+C}$