Question

50 БАЛЛОВ! Точка Р принадлежит стороне АD квадрата ABCD, а точка О приналежит диагонали АС, причем АP:АD=1:3 и ОС=
$20 sqrt{2}$

см.Вычислите площадь четырехугольника POCD, если известно, что около него можно описать окружность.​

Answer 1

Пусть $AP=x$ и $AD=3x$. Около четырехугольника вписали окружность, следовательно, $angle POC=180^circ-angle CDP=90^circ$. Следовательно, OP ⊥ AC. Отсюда ΔAOP - равнобедренный прямоугольный треугольник.

$AO=OP=dfrac{AP}{sqrt{2}}=dfrac{x}{sqrt{2}}$

Прямоугольные треугольники AOP и ACD подобны по двум углам

$dfrac{AP}{AC}=dfrac{AO}{AD}~~~Rightarrow~~~ dfrac{x}{frac{x}{sqrt{2}}+20sqrt{2}}=dfrac{frac{x}{sqrt{2}}}{3x}~~Rightarrow~~~ dfrac{sqrt{2}}{x+40}=dfrac{1}{3xsqrt{2}}\ \ 6x=x+40\ \ 5x=40\ \ x=8$

$S_{ACD}=dfrac{ADcdot CD}{2}=dfrac{(3cdot 8)^2}{2}=288$ кв. ед.

$S_{AOP}=dfrac{AOcdot OP}{2}=dfrac{(4sqrt{2})^2}{2}=16$ кв. ед.

Площадь четырехугольника POCD:

$S_{POCD}=S_{ACD}-S_{AOD}=288-16=272$ кв. ед.

Ответ: 272.