Question

Усі бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом 60 градусів. Зайдіть площу бічної поверхні піраміди, якщо її основа - трикутник зі сторонами 12 см, 39 см, і 45 см.

Answer 1

Нехай є трикутна піраміда, сторони основи якої $AB = 12$ см, $BC = 39$ см, $AC = 45$ см. Якщо всі бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом $60^{circ}$, то висота $SO$ піраміди лежить у центрі $O$ вписаного кола, де $ON$, $OM$ та $OK$ — радіуси цього кола.

Треба знайти площу $S_{b}$ бічної поверхні піраміди. Для того щоб її знайти, треба визначити площу кожної бічної грані.

Знайдемо площу основи за формулою Герона:

$p = dfrac{AB + BC + AC}{2} = dfrac{12 + 39 + 45}{2} = dfrac{96}{2} = 48$ см — півпериметр основи.

$S_{o} = sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = sqrt{48(48 -12)(48 - 39)(48 - 45)} =$

$= sqrt{48 cdot 36 cdot 9 cdot 3} = 6 cdot 3 cdot sqrt{16 cdot 3 cdot 3} = 18 cdot 4 cdot 3 = 216$ см² — площа основи.

Знайдемо радіус вписаного кола:

$r = dfrac{S_{o}}{p} = dfrac{216}{48} = 4,5$ см.

Отже, $ON = OM = OK = 4,5$ см.

$SO perp OM, SO perp ON, SO perp OK$, де $OM perp BC, ON perp AB, OK perp AC$ як радіуси вписаного кола, а $BC, AB$ та $AC$ — дотичні. Тут $OM, ON, OK$ — проекції відповідно $SM, SN, SK$ на площину $(ABC)$. Отже, $SM perp BC, SN perp AB, SK perp AC$ за теоремою про три перпендикуляри. Тому $angle SMO, angle SNO, angle SKO = 60^{circ}$ — лінійні кути двогранного кута відповідно при ребрах $BC, AB, AC$.

Розглянемо прямокутний трикутник $SOM (angle O = 90^{circ}):$

$SM = dfrac{OM}{cos angle SMO} = dfrac{4,5}{0,5} = 9$ см $= SN = SK$ (за першою ознакою рівності трикутників $SOM, SON, SOK$).

Розглянемо трикутник $SBC:$

$S_{1} = dfrac{1}{2} cdot SM cdot BC = dfrac{1}{2} cdot 9 cdot 39 = 175,5$ см²

Розглянемо трикутник $SAB:$

$S_{2} = dfrac{1}{2} cdot SN cdot AB = dfrac{1}{2} cdot 9 cdot 12 = 54$ см²

Розглянемо трикутник $SAC:$

$S_{3} = dfrac{1}{2} cdot SK cdot AC = dfrac{1}{2} cdot 9 cdot 45 = 202,5$ см²

Отже, площею бічної поверхні заданої піраміди буде $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} = 175,5 + 54 + 202,5 = 432$ см².

Відповідь: 432 см².