Question

При каком значении n вектора а(1;2n+1), b(n;6):
A) равны
В) коллинеарный
С) перпендикулярны

Answer 1

А) Два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

➠ В) Вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны:

$dfrac{1}{n} = dfrac{2n + 1}{6}$

$n(2n + 1) = 6 cdot 1$

$2n^{2} + n = 6$

$2n^{2} + n - 6 = 0$

$D = 1^{2} - 4 cdot 2 cdot (-6) = 1 + 48 = 49$

$n_{1,2} = dfrac{-1 pm 7}{4} = left[begin{array}{ccc}n_{1} = -2\n_{2} = 1,5\end{array}right$

➠ Равные длины:

$|vec {a}| = sqrt{1^{2}+ (2n + 1)^{2}} = sqrt{1 + 4n^{2} + 4n + 1} = sqrt{4n^{2} + 4n + 2}$

$|vec{b}| = sqrt{n^{2} + 6^{2}} = sqrt{n^{2} + 36}$

$|vec{a}| = |vec{b}| Rightarrow sqrt{4n^{2} + 4n + 2} = sqrt{n^{2} + 36}$

$4n^{2} + 4n + 2 = n^{2} + 36$

$3n^{2} + 4n - 34 = 0$

$D = 4^{2} - 4 cdot 3 cdot (-34) = 16 + 408 = 424$

$n_{1,2} = dfrac{-4 pm sqrt{424}}{6} = dfrac{-4 pm 2sqrt{106}}{6} = dfrac{-2 pm sqrt{106}}{3} = left[begin{array}{ccc}n_{1} =dfrac{-2 - sqrt{106}}{3}\n_{2} = dfrac{-2 + sqrt{106}}{3} \end{array}right$

Так как нет таких $n$, при которых вектора $vec{a}$ и $vec{b}$ одновременно коллинеарные и имеют равные длины, то данные вектора не могут быть равными.

С) Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, поскольку $cos 90^{circ} = 0$:

$vec{a} cdot vec{b} = 1 cdot n + (2n + 1) cdot 6 = n + 12n + 6 = 13n + 6$

$vec{a} cdot vec{b} = 0 Rightarrow 13n + 6= 0$

$13n = -6$

$n = -dfrac{6}{13}$

Ответ: А) ни при каких $n$ вектора $vec{a}$ и $vec{b}$ не равны; В) при $n =-2$ и $n = 1,5$; С) при $n = -dfrac{6}{13}$