Question

Найти y' и y'' (Найти производную параметрической функции 1-го и 2-го порядка). Калькулятор не использовать! Постараться максимально упростить полученный результат.
$left { {{x = 2t/(1+t^{3})} atop {y = t^{2}/(1+t^{2})}} right.$

Answer 1

$y'=dfrac{y'_t}{x'_t}=dfrac{dfrac{2t(1+t^2)-t^2cdot 2t}{(1+t^2)^2}}{dfrac{2(1+t^3)-2tcdot 3t^2}{(1+t^3)^2}}=dfrac{(2t+2t^3-2t^3)(1+t^3)^2}{(2+2t^3-6t^3)(1+t^2)^2}=dfrac{t(1+t^3)^2}{(1-2t^3)(1+t^2)^2}$

$y''=dfrac{(y'_t)'_t}{x'_t}=dfrac{left(dfrac{y'_t}{x'_t}right)'_t}{x'_t}=dfrac{dfrac{y''_tx'_t-y'_tx''_t}{x'_t^2}}{x'_t}=dfrac{y''_tx'_t-y'_tx''_t}{x'_t^3}$    (2)

$y''_t=dfrac{2(1+t^2)^2-2tcdot 2(1+t^2)cdot 2t}{(1+t^2)^4}=dfrac{2+2t^2-8t^2}{(1+t^2)^3}=dfrac{2-6t^2}{(1+t^2)^3}$

$x''_t=dfrac{-8t(1+t^3)^2-(2-4t^3)cdot 2(1+t^3)cdot3t^2}{(1+t^3)^4}=dfrac{-8t-8t^4-12t^2+24t^5}{(1+t^3)^3}$

Нашли все производные $x'_t;~ x''_t;~ y'_t;~ y''_t$, осталось подставить в формулу (2) и всё.

Максимально упрощенное выражение:

$y''=dfrac{(6t^8-4t^7+14t^6-13t^5-4t^4-5t^3-t^2-1)(t^3+1)^3}{2(t^2+1)^3(2t^3-1)^3}$