Question

Решить дифференциальное уравнение и определить тип​

Answer 1

Тип: линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Поделим обе части уравнения на $-0{,}25y^5$, получим

$-dfrac{4y'}{y^5}-dfrac{4sin2x}{y^4(cos 2x-5)}=-4$

Пусть $v=dfrac{1}{y^4}$, тогда $v'=-dfrac{4y'}{y^5}$, получаем

$v'-dfrac{4vsin2x}{cos 2x-5}=-4$

Далее умножим обе части последнего уравнения на $(cos 2x-5)^2$

$v'(cos 2x-5)^2-4vsin 2x(cos 2x-5)=-4(cos 2x-5)^2\ \ Big(vcdot (cos 2x-5)^2Big)'=-4(cos 2x-5)^2\ \ v(cos 2x-5)^2=displaystyle int -4(cos 2x-5)^2dx\ \ v(cos 2x-5)^2=-102x+20sin 2x-dfrac{sin4x}{2}+C\ \ v=dfrac{20sin2x-102x-dfrac{sin 4x}{2}+C}{(cos 2x-5)^2}\ \ \ dfrac{1}{y^4}=dfrac{20sin2x-102x-dfrac{sin 4x}{2}+C}{(cos 2x-5)^2}\ \ \ boxed{y=pmsqrt[4]{dfrac{(cos2x-5)^2}{20sin2x-102x-dfrac{sin 4x}{2}+C}}}$