Question

Помогите решить пример с решением.

Answer 1

Заметим, что

$frac{1}{3+2sqrt2}=frac{3-2sqrt2}{(3+2sqrt2)(3-2sqrt2)}=frac{3-2sqrt2}{9-8}=3-2sqrt2,$ т.е.

$(3-2sqrt2)^{x/2}=(frac{1}{3+2sqrt2} )^{x/2}=frac{1}{(3+2sqrt2)^{x/2}}$.

Сделаем замену: $(3+2sqrt2)^{x/2}=t>0$

Уравнение принимает следующий вид:

$t+frac{1}{t}=34,|cdot tneq 0\\t^2-34t+1=0;\\D_1=(frac{b}{2})^2-ac=(-17)^2-1=288=12^2cdot2$

$t_{1,2}=frac{(-frac{b}{2})pmsqrt{D_1} }{a}=17pm12sqrt2.$

$t_1=17+2sqrt2, t_2=17-2sqrt2$

Обратная замена:

$left [ {{(3+2sqrt2)^{x/2}=17+12sqrt2} atop {(3+2sqrt2)^{x/2}=17-12sqrt2}} right.$

Обе строки совокупности - в силу положительности каждой из частей - возведем в квадрат, чтобы избавиться от двойки в знаменателе показателя степени:

$left [ {{(3+2sqrt2)^x=(17+12sqrt2)^2} atop {(3+2sqrt2)^x=(17-2sqrt2)^2}} right.$    $left [ {{x=log_{(3+2sqrt2)}(17+12sqrt2)^2} atop {x=log_{(3+2sqrt2)}(17-12sqrt2)^2} right. left [ {{x=2log_{(3+2sqrt2)}(17+12sqrt2)} atop {x=2log_{(3+2sqrt2)}(17-12sqrt2)}} right.$

Заметим, что

$(3+2sqrt2)^2=9+12sqrt2+8=17+12sqrt2,$ $frac{1}{17+12sqrt2}=frac{17-12sqrt2}{(17-12sqrt2)(17+12sqrt2)}=frac{17-12sqrt2}{289-288}=17-12sqrt2$

Тогда

$log_{(3+2sqrt2)}(17+12sqrt2)=2,\log_{(3+2sqrt2)}(17-12sqrt2)=-log_{(3+2sqrt2)}(17+12sqrt2)=-2$

$left [ {{x=2cdot2} atop {x=2cdot(-2)}} right. left [ {{x=4} atop {x=-4}} right.$

ОТВЕТ: -4; 4.