Question

Дифференциальное уравнение

Answer 1

$(y+e^{x}, siny)dx+(x+e^{x}, cosy)dy=0$

Проверим, является ли это ДУ уравнением в полных дифференциалах:

$P=y+e^{x}, siny; ; ,; ; Q=x+e^{x}, cosy\\frac{partial P}{partial y}=(y+e^{x}, siny)'_{y}=1+e^{x}, cosy\\frac{partial Q}{partial x}=(x+e^{x}, cosy)'_{y}=1+e^{x}, cosy\\frac{partial P}{partial y}=frac{partial Q}{partial x}; ; Rightarrow$

Заданное ДУ является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:   $frac{partial F}{partial x}, dx+frac{partial F}{partial y}=0$  .

$1); ; frac{partial F}{partial x}=y+e^{x}, siny; ; ,; ; ; underline {frac{partial F}{partial y}=x+e^{x}, cosy}\\F=int frac{partial F}{partial x}cdot dx=int (y+e^{x}, siny), dx=yx+e^{x}, siny+underbrace {varphi (y)}_{const}\\2); ; frac{partial F}{partial y}=(yx+e^{x}, siny+varphi (y))'_{y}=x+e^{x}, cosy+varphi '(y)\\x+e^{x}, cosy+varphi '(y)=underline {x+e^{x}, cosy}; ; ; Rightarrow ; ; ; varphi '(y)=0; ; ,; ; varphi (y)=C; ; (C=const)$

$F=xy+e^{x}, siny+C$

Oтвет:  общий интеграл   $xy+e^{x}, siny+C=0; .$