Question

Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения.
xy'+y=lnx-1; y(1)=0

Answer 1

$xy'+y=lnx-1; ,; ; y(1)=0\\y'+frac{y}{x}=frac{lnx-1}{x}\\y=uv; ,; ; y'=u'v =uv'\\u'v+ucdot (v'+frac{v}{x})=frac{lnx-1}{x}\\a); ; v'=-frac{v}{x}; ,; ; int frac{dv}{v}=-int frac{dx}{x}; ,; ; ln|v|=-ln|x|; ,; ; v=frac{1}{x}\\b); ; u'cdot frac{1}{x}=frac{lnx-1}{x}; ; ,; ; int du=int (lnx-1), dx; ,\\star ; ; int lnx, dx=Big [; u=lnx,; du=frac{dx}{x},; dv=dx,; v=x; Big]=uv-int v, du=\\=xcdot lnx-int dx=xcdot lnx-x+C^*; ; star$

$u=(xcdot lnx-x+C^*)-(x+C^{**})\\y=frac{1}{x}cdot (xcdot lnx-2x+C)\\y=lnx-2+frac{C}{x}$

$0=y(1)=ln1-2+frac{C}{1}; ,; ; C-2=0; ; to ; ; C=2\\y=lnx-2+frac{2}{x}$

Answer 2

Зачем я выделил в решении три цвета? Розовый, желтый и синий?

1. Розовый - это начальные условия. Т.е. Задача Коши здесь решается. И дается нач. условие, чтобы найти с.

2. Желтый, для решения линейного диф. уравнения первого порядка вводят переменные u и v, которые подлежат определению.

3. Синий.  При нахождении ∫㏑х dx опять вводим  u и v, интегрируя по частям, но это уже совсем другие u и v, нежели те, что вводятся для решения линейного диф. уравнения.

В этом надо Вам хорошенько разобраться, если хотите научиться решать такие задания. Удачи.