Question

Решите интеграл, пожалуйста

Answer 1

Решение приложено...

Answer 2

Ответ: $-sqrt{-(x+1)^2+4} -arcsin(frac{x+1}{2} )+C$

Пошаговое объяснение:

Начнем с преобразования подкоренного выражения:

$3-2x-x^2=-(x+1)^2+4$

Тогда:

$int {frac{xdx}{sqrt{3-2x-x^2} } } =int {frac{xdx}{sqrt{-(x+1)^2+4} } }$

$d(-(x+1)^2+4)=(-2x-2)dx=-2xdx-2dx\\2xdx=-d(-(x+1)^2+4)-2dx\xdx=-frac{1}{2} d(-(x+1)^2+4)-dx$

Следовательно, мы можем записать, что:

$int {frac{xdx}{sqrt{-(x+1)^2+4} } }=int {frac{-frac{1}{2} d(-(x+1)^2+4)-dx}{sqrt{-(x+1)^2+4} } }=bigg|t=-(x+1)^2+4bigg|\\=int {frac{-frac{1}{2} dt}{sqrt{t} } }-intfrac{dx}{sqrt{-(x+1)^2+4}} =-frac{1}{2} int t^{-frac{1}{2} }dt-intfrac{d(x+1)}{sqrt{-(x+1)^2+4}}$

Это два табличных интеграла:

$-frac{1}{2} int t^{-frac{1}{2} }dt-intfrac{d(x+1)}{sqrt{-(x+1)^2+4}} =-sqrt{t} -arcsin(frac{x+1}{2} )+C=\\-sqrt{-(x+1)^2+4} -arcsin(frac{x+1}{2} )+C$