Question

Решить дифференциальное уравнение, найти общее решение:
y'+y= x$sqrt{y}$

Answer 1

$y'+y=xsqrt{y}~~~~|:2sqrt{y}\ \ dfrac{y'}{2sqrt{y}}+dfrac{sqrt{y}}{2}=dfrac{x}{2}$

Введём замену $sqrt{y}=t$, тогда получаем

$t'+dfrac{t}{2}=dfrac{x}{2}$

Умножим обе части уравнения на $e^{int frac{dx}{2}}=e^{frac{x}{2}}$, получим

$t'cdot e^{frac{x}{2}}+dfrac{t}{2}cdot e^{frac{x}{2}}=dfrac{x}{2}cdot e^{frac{x}{2}}\ \ \ Big(tcdot e^{frac{x}{2}}Big)'=dfrac{x}{2}cdot e^{frac{x}{2}}\ \ displaystyle tcdot e^{frac{x}{2}}=int dfrac{x}{2}e^{frac{x}{2}}dx=displaystyle left|begin{array}{ccc}u=x;~~~ du=dx\ \ dv=e^{frac{x}{2}}dx;~~~ v=2e^{frac{x}{2}}end{array}right|=2xe^{frac{x}{2}}-2int e^{frac{x}{2}}dx=\ \ \ =2xe^{frac{x}{2}}-4e^{frac{x}{2}}+C=2e^{frac{x}{2}}Big(x-2Big)+C$

$t=2x-4+Ce^{-frac{x}{2}}$

Выполним обратную замену

$sqrt{y}=2x-4+Ce^{-frac{x}{2}}\ \ boxed{y=left(2x-4+Ce^{-frac{x}{2}}right)^2}$

Answer 2

$y'+y= xsqrt{y}$

Решение уравнения будем искать в виде произведения ненулевых функций:

$y=uv$

Тогда:

$y'=u'v+v'u$

Подставляем в исходное уравнение:

$u'v+v'u+uv= xsqrt{uv}$

Пусть первое и третье слагаемое левой части в сумме дают ноль:

$u'v+uv=0$

$u'+u=0$

$dfrac{du}{dx} =-u$

$dfrac{du}{u} =-dx$

$intdfrac{du}{u} =-int dx$

$ln|u| =-x$

$u =e^{-x}$

Тогда второе слагаемое левой части равно правой части:

$v'u= xsqrt{uv}$

$v'= xsqrt{dfrac{v}{u} }$

Подставим найденное значение u:

$v'= xsqrt{dfrac{v}{e^{-x}} }$

$dfrac{dv}{dx} = xsqrt{ve^x }$

$dfrac{dv}{sqrt{v}} = xsqrt{e^x }dx$

$2cdotdfrac{dv}{2sqrt{v}} = xe^{frac{x}{2} }dx$

$2intdfrac{dv}{2sqrt{v}} = int xe^{frac{x}{2} }dx$

В левой части табличный интеграл, правую часть интегрируем по частям следующим образом:

$int xe^{frac{x}{2} }dx=left<begin{array}{l} u=x \ du=dx \ dv=e^{frac{x}{2} } \ v=2e^{frac{x}{2} } end{array}right>=2xe^{frac{x}{2}}-2e^{frac{x}{2}}dx=2xe^{frac{x}{2}}-2cdot2e^{frac{x}{2}}=2e^{frac{x}{2}}(x-2)+C$

$2sqrt{v} =2e^{frac{x}{2}}(x-2)+2C$

$sqrt{v} =e^{frac{x}{2}}(x-2)+C$

$v =left(e^{frac{x}{2}}(x-2)+Cright)^2$

Искомая функция:

$y=uv=e^{-x}left(e^{frac{x}{2}}(x-2)+Cright)^2$