Question

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Answer 1

$1); ; y''=frac{1}{cos^2x}\\y'=int frac{dx}{cos^2x}=tgx+C_1; ; ,; ; y'(0)=frac{3}{5}; ; to ; ; frac{3}{5}=tg0+C_1; ; ,; ; C_1=frac{3}{5}\\y=int (tgx+C_1)dx=int frac{sinx, dx}{cosx}+int C_1, dx=-ln|cosx|+C_1x+C_2\\y(0)=1; ; to ; ; 1=-ln|cos0|+frac{3}{5}cdot 0+C_2; ; , ; ; C_2=1\\underline {; y=-ln|cosx|+frac{3}{5}, x+; }1$

$2); ; y''=frac{1}{x^2}\\y'=int x^{-2}, dx=frac{x^{-1}}{-1}+C_1=-frac{1}{x}+C_1; ,\\y'(1)=1; ; to ; ; 1=-1+C_1; ; ,; ; C_1=2\\y=int (-frac{1}{x}+C_1), dx=-ln|x|+C_1, x+C_2; ,\\y(1)=3; ; to ; ; 3=-ln1+2+C_2; ,; ; C_2=1\\underline {; y=-ln|x|+2x+1; }$

$3); ; y''=24x^2-9e^{x}\\y'=int (24x^2-9e^{x}), dx=8x^3-9e^{x}+C_1\\y=int (8x^3-9e^{x}+C_1), dx=2x^4-9e^{x}+C_1,x +C_2\\underline {; y=2x^4-9e^{x}+C_1,x +C_2; }$

$4); ; xcdot y''=y'\\y'=p(x); ; ,; ; y''=p'\\xcdot p'=p; ; ,; ; pfrac{x}{y} '=frac{p}{x}; ; ,; ; frac{dp}{dx}=frac{p}{x}; ; ,; ; int frac{dp}{p}=int frac{dx}{x}; ,\\ln|p|=ln|x|+lnC_1; ; ,; ; p=C_1, x; ; ,; ; frac{dy}{dx}=C_1, x; ,\\int dy=int C_1, x, dx; ; ,; ; underline {; y=C_1cdot frac{x^2}{2}+C_2; }$

$5); ; (x^3+5)cdot y''=3x^2cdot y'\\y'=p(x); ; ,; ; y''=p'\\(x^3+5)cdot frac{dp}{dx}=3x^2cdot p; ; ,; ; int frac{dp}{p}=int frac{3x^2, dx}{x^3+5}; ,\\ln|p|=ln|x^3+5|+lnC_1; ; ,; ; p=C_1(x^3+5); ; ,; ; frac{dy}{dx}=C_1(x^3+5)\\int dy=int C_1(x^3+5)\\underline {; y=C_1cdot (frac{x^4}{4}+5x)+C_2; }$

$6); ; y''-frac{y'}{x}=24x^3\\y'=p(x); ,; ; y''=p'\\p'-frac{p}{x}=24x^3\\p=uv; ,; ; p'=u'v +uv'\\u'v +uv'-frac{uv}{x}=24x^3\\u'v+u, (v'-frac{v}{x})=24x^3\\a); ; v'-frac{v}{x}=0; ; ,; ; int frac{dv}{v}=int frac{dx}{x}; ; ,; ; ln|v|=ln|x|; ,\\v=x\\b); ; u'x=24x^3; ; ,; ; u'=24x^2; ; ,; ; int du=int 24x^2, dx; ,\\u=8x^3+C_1\\c); ; p=x, (8x^3+C_1); ; ,; ; y'=8x^4+C_1, x; ,\\int dy=int (8x^4+C_1, x), dx$

$y=frac{8x^5}{5}+frac{C_1x^2}{2}+C_2$