Question

Вычисли сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 180, которые при делении на 5 дают остаток 1.

Ответ:
1. искомое натуральное число имеет вид (запиши числа):
.....⋅k+......


2. Сколько имеется таких натуральных чисел, которые не превосходят 180:
......

3. Запиши сумму заданных чисел:
Sn=.......

Answer 1

Ответ:

1) 5k+1

2) 36

3) 3186

Объяснение:

1) искомое натуральное число имеет вид: 5k+1, где k∈N₀ (k - натуральное, либо 0)

2) подставляем вместо k возможные значения:

а) k=0 ⇒ 5*0+1=1

б) k=1 ⇒ 5*1+1=6

в) k=2 ⇒ 5*2+1=11

г) k=3 ⇒ 5*3+1=16 и т.д.

замечаем, что каждое следующее число больше предыдущего на 5, то есть имеем арифметическую прогрессию, где а₁=1; d=5

чтобы определить сколько таких чисел (n) нужно, воспользуемся формулой n-го члена:

$a_n=a_1+(n-1)d$

по условию у нас последний член не обязательно должен равняться 180, а только не должен его превышать (an≤180), значит запишем неравенство:

$a_1+(n-1)d\leq 180 \\ \\ 1+(n-1)*5\leq 180 \\ \\ (n-1)*5\leq 179 \\ \\ n-1\leq \frac{179}{5} \\ \\ n\leq \frac{179}{5} +1 \\ \\ n\leq 36.8$

наибольшее значение n, удовлетворяющее неравенству равно 36.

Значит всего 36 таких чисел.

3) при полученном n, находим an

$a_{36}=1+(36-1)*5=176$

находим сумму по формуле:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n \\ \\ S_{36}=\frac{1+176}{2}*36= 3186$