Question

y''-7 y'+12y=0 y0=0 y'0=2

Answer 1

Для начала найдем общее решение. Составим соответствующее уравнение

$lambda^2-7lambda+12=0$

Нетрудно видеть, что

$(lambda-3)*(lambda-4)=0$

$lambda_1=3,quadlambda_2=4$

$y_{obshee}=C_1*e^{3x}+C_2*e^{4x}$

Так как даны начальные условия, то

$y(0)=C_1*e^{3*0}+C_2*e^{4*0}$

$y(0)=C_1+C_2$

По условию

$C_1+C_2=0quad (1)$

Значит $C_1=-C_2quad (1*)$

Теперь надо найти производную общего решения

$y_{obshee}'=3C_1*e^{3x}+4C_2*e^{4x}$

По второму условию

$y(0)=3C_1*e^{3*0}+4C_2*e^{4*0}$

$3C_1+4C_2=2quad(2)$

Подставим значение $C_1$ из (1*) в (2)
$-3C_2+4C_2=2$

$C_2=2.$

Значит $C_1=-2.$

Решением данного уравнения будет

$y=-2*e^{3x}+2*e^{4x}$