Question

знайдіть корені рівняння 3cos^2x+3sin x * cos x-2sin^2 x =2
ОООЧЕНЬ СРОЧНО !!!​

Answer 1

Допустим, что $\cos x = 0$. Тогда имеем уравнение $-2\sin^2x=2$, не имеющее решений, поскольку в левой части число неположительное, а в правой - положительное, т.е. левая часть никак не может быть равна правой. Т.е. $\cos x\neq 0$

Преобразуем правую часть:

$2 = 2\cdot 1=2(\sin^2x+\cos^2x)=2\sin^2x+2\cos^2x.$

Перенесем все влево с противоположным знаком:

$3\cos^2x+3\sin x\cos x-2\sin^2x-2\sin^2x-2\cos^2x=0;\\\\\cos^2x+3\sin x\cos x-4\sin^2x=0.$

Поскольку $\cos x\neq 0$, можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$. В итоге имеет равносильное исходному уравнение

$1+3tg x - 4tg^2x=0|\cdot (-1)$

$4tg^2x - 3tg x - 1 = 0.$

Заметим, что $tg x = 1$  является корнем уравнения относительно тангенса. Тогда по теореме Виета второй корень равен $-\frac{1}{4}$.

Соответственно, имеем два случая: или $tg x =1,$ или $tg x = -\frac{1}{4}$.

1 случай.

 $tg x =1;\\\\x=arctg(1) +\pi k, k\in{Z};\\\\x=\frac{\pi}{4} +\pi k, k\in{Z}.$

2 случай.

$tg x =-\frac{1}{4};\\\\x=arctg(-\frac{1}{4}) +\pi n, n\in{Z};\\\\x=-arctg\frac{1}{4} +\pi n, n\in{Z}.$

Имеем две серии корней.

ОТВЕТ:  π/4 + πk, k ∈ Z;   -arctg(1/4) + πn, n ∈ Z.