Question

Решите уравнение

$\sqrt{2} cos(8x)*cos(x+\pi /4)=2cos5\pi /4$

Answer 1

$\sqrt{2} \cos(8x) \cos(x + \frac{\pi}{4} ) = 2 \cos( \frac{5\pi}{4} ) \\ \cos(8x) \cos(x + \frac{\pi}{4} ) = \frac{2}{ \sqrt{2} } ( - \frac{ \sqrt{2} }{2} ) \\ \cos(8x) \cos(x + \frac{\pi}{4} ) = - 1$

Оба косинуса лежат в пределах от -1 до 1 включительно, а значит, их произведение будет равно -1 только в случае если хотя бы один из них будет равен 1 а второй -1. Запишем совокупность двух систем:

$\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{aligned} \cos(8x) = 1 \\ \cos(x + \frac{\pi}{4} ) = - 1 \end{aligned} \right. \\\left\{ \begin{aligned} \cos(8x) = - 1 \\ \cos(x + \frac{\pi}{4} ) = 1 \end{aligned} \right. \end{gathered} \right.$

Решим каждую по-отдельности:

$\left\{ \begin{aligned} \cos(8x) = 1 \\ \cos(x + \frac{\pi}{4} ) = - 1 \end{aligned} \right. \\ \left\{ \begin{aligned} 8x = 2\pi n \\ x + \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n \end{aligned} \right. \\ \left\{ \begin{aligned} x = \frac{\pi}{4} n \\ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \end{aligned} \right.$

Общее решение системы:

$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \: n \in \mathbb Z$

Решаем вторую систему:

$\left\{ \begin{aligned} \cos(8x) = - 1 \\ \cos(x + \frac{\pi}{4} ) = 1 \end{aligned} \right. \\ \left\{ \begin{aligned} 8x = \pi + 2\pi m \\ x + \frac{\pi}{4} = 2\pi m \end{aligned} \right. \\ \left\{ \begin{aligned} x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}m \\ x = - \frac{\pi}{4} + 2\pi m \end{aligned} \right.$

Данная система не имеет решений. Тогда общее решение уравнения:

$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \: k \in \mathbb Z$