Question

Найти площадь фигуры, лежащей в правой полуплоскости и ограниченной окружностью x^2+y^2=8 и параболой y^2=2x. Пожалуйста, помогите!

Answer 1

$x^{2} + y^{2} = 8$ — уравнение окружности с центром $(0; 0)$ и радиусом $sqrt{8}.$

$y^{2} = 2x$ — уравнение параболы

Изобразим графики данных уравнений и найдем площадь образовавшейся фигуры в правой полуплоскости.

Выразим ординаты данных уравнений:

$y = pmsqrt{8 - x^{2}}$ и $y = pmsqrt{2x}$

Так как имеем симметричные фигуры, найдем площадь $S_{1}$ одной из них. Общая их площадь $S$ будет состоять из площади двух $S_{1}$, то есть $S = 2S_{1}$

Тогда $y =sqrt{8 - x^{2}}$ и $y = sqrt{2x}$. Поэтому $sqrt{8 - x^{2}} = sqrt{2x}; 8 - x^{2} = 2x; x = 2 geq 0$

Так как окружность вытесняет больше площади, чем парабола, то имеем разность их площадей, определяющаяся через определенный интеграл:

$S_{1} = displaystyle intlimits^{2}_{0} {left(sqrt{8 - x^{2}} - sqrt{2x} right)} , dx = intlimits^{2}_{0} {sqrt{8 - x^{2}}} , dx - intlimits^{2}_{0} { sqrt{2x} } , dx$

Найдем первый интеграл геометрически: площадь круга находится по формуле $S = pi R^{2}$, где $R$ — радиус круга. Тогда четверть круга: $S' = dfrac{S}{4} = dfrac{pi R^{2}}{4} = dfrac{pi cdot 8}{4} = 2pi$

Найдем второй интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$displaystyle intlimits^{2}_{0} { sqrt{2x} } , dx = dfrac{2sqrt{2x^{3}}}{3} bigg|_{0}^{2} = dfrac{2sqrt{2 cdot 2^{3}}}{3} - dfrac{2sqrt{2 cdot 0^{3}}}{3} = dfrac{8}{3}$

Таким образом, $S_{1} = 2pi - dfrac{8}{3}$ кв. ед.

Тогда $S = 2S_{1} = 4pi - dfrac{16}{3}$ кв. ед.

Ответ: $4pi - dfrac{16}{3}$ кв. ед.