100 Баллов! 10 человек стоят по кругу, все они разного возраста. Каждый сказал: «Я старше обоих своих соседей». а) Могло ли оказаться так, что все сказали правду? б) Могло ли оказаться так, что все солгали? в) Найдите наибольшее возможное количество человек, сказавших правду.
Ответы
а).
По условию нам известно, что все 10 человек имеют разный возраст. Следовательно, есть человек, который меньше всех по возрасту.
И куда бы мы его ни поставили, его соседи обязательно будут старше. Следовательно, сказав, что он "старше обоих соседей", он солгал.
И все правду сказать не могли (так как есть хотя бы один совравший - самый маленький).
Ответ: нет.
б).
Здесь все будет точно также, как и в пункте "а", только наоборот.
В группе обязательно есть самый старший человек.
Так как он при любой расстановке старше своих соседей, то он обязательно скажет правду, и все солгать не могли.
Ответ: нет.
в).
Чтобы решить этот пункт, заметим, что каждый из двух стоящих рядом людей правду сказать не мог, потому что первый из них будет, в частности, утверждать, что он старше второго, а второй - что он старше первого. При этом было бы очень странно, если бы оба высказывания были верными.
Так что среди любых двух стоящих рядом людей есть хотя бы один лжец.
Так пар стоящих рядом людей (и не пересекающихся между собой) есть ровно пять, то и лжецов будет хотя бы пять.
Значит, тех, кто сказал правду, будет пять или меньше. Докажем, что пять возможно - предъявим пример (на самом деле эти десять человек выстроены в круг, и те, кому по 1 и 10 лет, стоят рядом):
10, 8, 9, 6, 7, 4, 5, 2, 3, 1.
Подчеркнутые - говорят правду.
Ответ: 5 человек.