Question

(1-x)(y'+y)=e^(-x) общее и частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

$(1-x)(y'+y)=e^{-x}$

$y'+y=dfrac{e^{-x}}{1-x}$

Решение ищем в виде произведение двух ненулевых функций:

$y=uv$

$y'=u'v+v'u$

Подставляем в уравнение:

$u'v+v'u+uv=dfrac{e^{-x}}{1-x}$

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:

$u'v+uv=0$

$u'+u=0$

$u'=-u$

$dfrac{du}{dx} =-u$

$dfrac{du}{u} =-dx$

$intdfrac{du}{u} =-int dx$

$ln|u| =-x$

$u=e^{-x}$

Тогда, второе слагаемое в левой части равно правой части:

$v'u=dfrac{e^{-x}}{1-x}$

$v'cdot e^{-x}=dfrac{e^{-x}}{1-x}$

$v'=dfrac{1}{1-x}$

$dfrac{dv}{dx} =dfrac{1}{1-x}$

$dv=dfrac{dx}{1-x}$

$dv=-dfrac{d(1-x)}{1-x}$

$int dv=-int dfrac{d(1-x)}{1-x}$

$v=-ln|1-x|+ln C$

$v=lndfrac{C}{1-x}$

Общее решение:

$y=uv=e^{-x}lndfrac{C}{1-x}$

Частное решение. Пусть $C=1$:

$y_c=e^{-x}lndfrac{1}{1-x}=-e^{-x}ln(1-x)$

Answer 2

помогите с заданиеи